Bernhard Häussner

3D-Perspektive mit einer kurzen Formel

04.09.2009, 19:07
3D-Effekt mit Javascript

3D-Effekt mit Javascript

Für die Gestaltung von 3D-Effekten, sind zwar duzende Hardware-beschleunigte Toolkits parat, doch im Fall von HTML-Canvas bzw. auf Webseiten generell sieht das Angebot nicht so reich aus. Das hat mich dazu bewegt, selbst einen kleinen Blick in die Mathematik hinter 3D-Projektionen/3D-Perspektive zu werfen. Meine Erkenntnisse konnte ich in einer kurzen Formel zusammenfassen.

Wer sich nicht für die Mathematik interessiert, kann natürlich flash oder eine der vielen Canvas-3D-Librarys verwenden.

Das Prinzip hinter der 3D-Projektion ist meist das einer Lochkamera. Lichtstrahlen fallen vom abzubildenden Punkt im Raum durch ein Loch und auf einen Schirm. Diese Art der Projektion war eine der ersten bekannten und mit ihrer alten Bezeichnung „camera obscura“ (lat. für dunkle Kammer, die in der der Schirm angebracht war) namensgebend für die heute auf Linsenoptik basierenden Kameras.

Die Lochkamera ist leider nicht so lichtstark wie die Linsenoptik und ihre Schärfe ändert sich nicht mit der Entfernung, sondern mit der Größe des Lochs.

Im Gegensatz zur Linsenoptik ist die Lochkamera aber durch den einfachen Strahlensatz zu berechnen. Mit dem Strahlensatz kann man ganz einfach die Koordinaten eines Punktes im Raum umrechnen in Koordinaten auf dem Schirm. Dazu genügt folgende Funktion:

F:ℝ³→ℝ², F(x,y,z)= P( x*d / z | y*d / z ) ; d: distance to screen

Dass diese Funktion klappt, zeigt dieses Beispiel. Hier eine Graphische Erläuterung:

Strahlensatz für Perspektive. Schwarz: Abzubildender Punkt/Lichtstrahl, Blau: Kamera, Grün: Kameraparameter Bildweite, Rot: Koordinate auf dem Schirm, Lila: Ursprungskoordinaten

Strahlensatz für Perspektive. Schwarz: Abzubildender Punkt/Lichtstrahl, Blau: Kamera, Grün: Kameraparameter Bildweite, Rot: Koordinate auf dem Schirm, Lila: Ursprungskoordinaten

Wegen dem Strahlensatz gilt x' / x = d / z, aufgelöst x' = d*x / z, analog für die y-Koordinate.

Etwas logischer wäre vielleicht der Schirm hinter dem Loch, vor allem da Objekte näher an die Kamera heran kommen können, doch so kann man sich den Schirm wie den Computerbildschirm vorstellen, durch den man in die Raumillusion hineinschaut.

Diese Formel erledigt die Abbildung in der Kamera. Jedoch muss der Punkt bereits in Koordinaten relativ zur Kamera gegeben sein. Da man normalerweise Punkte zunächst durch ein Weltkoordinatensystem definiert, muss man sie erst transformieren.

Bei meinem einfachen Beispiel beschränkt sich die Transformation zunächst auf eine Verschiebung entlang der z-Achse und später habe ich noch eine Rotation um die y-Achse hinzugefügt. Diese Koordinatenumrechnungen lassen sich in Transformationsmatrizen beschreiben.

Dann fehlt eigentlich nur noch die Darstellung. Im Beispiel wird der Text durch einfache CSS-Manipulationen an die richtige Position gebracht, und die Kreise werden mit dem canvas-Element gerendert.

Mit einem solchen Modell lassen sich schon einfache Drahtgitter problemlos darstellen (Demo), da eine Kante zwischen zwei Punkten im Raum auch eine Strecke zwischen zwei Punkten auf dem Schirm darstellt, und uns somit die Berechnung dieser Bildpunkte erspart. Für eine ausgefeiltere Darstellung kann man Dreiecke oder Polygone verwenden (Demo), für die ungefähr das selbe gilt, nur dass z.B. ihr Winkel zu einer Lichtquelle für die Kolorierung verwendet werden kann

Für nahezu realistische Lichteffekte bedarf es allerdings eines anderen Modells, genannt Raytracing, bei dem man den Weg rückwärts geht und bei der Kamera anfängt. Das wurde übrigens auch schon in Javascript umgesetzt, ist aber für Echtzeit-Anwendungen eher ungeeignet (vielleicht kommen bald die ersten Computerspiele mit der - in Realtime - noch neuen Technik).

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Kommentare

David meint: (#257)
16.01.2012, 20:07

Ein echt guter Artikel zur Berechnung der 3d-Perspektive und auch coole Beispiele!
Allerdings ist mir aufgefallen, dass die Formel nach dem 2. Strahlensatz nicht stimmt. Sie müsste lauten:
x' = d*x / (d+z)
Genauer erklärt ist das im Internet z. B. auf
http://www.hbmeyer.de/perspektiv.htm
Aber vielen Dank für den Artikel, er hat mir bei einem 3d-Programm sehr weiter geholfen!
David (PHP- und VB-Programmierer und perspektivischer Zeichner)

Bernhard H. meint: (#259)
01.03.2012, 19:51

Danke! Schön, dass dir der Artikel geholfen hat.
Die Formel ist schon richtig. Auf der Webseite, die du verlinkt hast ist zP nicht der gesamte Abstand vom Schnittpunkt sondern nur der Teil ab der ersten Parallele, bzw. ab Punkt H. Hier im Artikel ist z=zP+d wenn man so will, die Formel ist also nur etwas anders formuliert.

David meint: (#755)
05.03.2014, 01:41

Oh ja, ich hab nur übersehn, dass der lila Strich durchgezogen ist ^^

Wie man sieht, ist der Artikel auch nach zwei Jahren noch eine wichtige Referenz für mich ...






 
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