Bernhard Häussner

Pentagramme, 5-Ecke, √5 und Φ

21.01.2011, 18:44

In letzter Zeit habe ich mich mit den Winkeln und Strecken-Verhältnissen in Fünfecken und Pentagrammen beschäftigt, und bin dabei auf allerlei Vielfache der Wurzel 5 und der Goldenen Zahl Φ gestoßen. Dem zweidimensionalen Pentagramm, wie auch dem Dodekaeder, und in gewisser Weise auch dem Ikosaeder liegt das Fünfeck als Baustein zugrunde.

Pentagramm und Fünfeck

Die Winkel im Pentagramm sind fast alle 36°, oder Vielfache, wie 18°, 72°, 108°, 144°. Die Längenverhältnisse sind schon interessanter: Beim Fünfeck stehen Diagonale (in der Skizze blau) und Seitenlänge (magenta) im Verhältnis des Goldenen Scnittes, genauso im Pentagramm der große (hellblau, [AS]) und der kleine (hellmagenta, [SS'']) Abschnitt (gleichzeitig Seite des kleinen Fünfecks) der Seite. Dadurch, dass das Pentagramm aus den Diagonalen des Fünfecks gebildet wird, kann man von der Seitenlänge des kleinen Fünfecks auf die des Großen schließen:

[AD] = d(S,S'') + 2*Φ*d(S,S'')
[AD] = Φ*[AB]
1/Φ  = Φ - 1

[AB] = [ d(S,S'') + 2*Φ*d(S,S'') ]/Φ = ( 1/Φ + 2 )*d(S,S'') 
     = (Φ + 1)*d(S,S'')

Interessant für meine Zwecke war dies, um die Polarkoordinaten aller Punkte herauszubekommen. Dabei dient M als Ursprung, und wenn die drei Punkte A, M' und S bestimmt wurden, lassen sich die übrigen Punkte durch Rotation finden. Durch Rotation (und Spiegelung) der beiden in Cyan markierten Strecken lässt sich das gesamte Pentagramm bilden. Das habe ich bei meinen Konstruktionen verwendet. Der Azimut φ ist bei allen 3 Punkten trivial. Allein der Radius r bedarf einiger Überlegung.

Zum Glück hilft Wikipedia hier mit 2 recht praktischen Formeln für In- und Umkreisradius, sodass man sich einiges Gerechne mit Dreiecks-Ähnlichkeiten, Pythagoras etc. sparen kann:

r_i = a/10 * √(50+10√5)
r_u = a/10 * √(25+10√5)

Da r(M') der Inkreisradius des kleinen Fünfecks ist, r(S) der Umkreisradius des kleinen Fünfecks und r(A) der des großen ist, kann man die Entfernungen zunächst leicht als Vielfache der Kantenlänge des kleinen Fünfecks (d(S,S'') hier a) schreiben:

r(M') = a/10 * √(25+10√5)
r(S)  = a/10 * √(50+10√5)
r(A)) = (Φ+1) * a/10 * √(50+10√5)

Die Länge a wird nicht benötigt, und ich habe r(M') auf 1 festgelegt. Dann löst man auf:

r(M') = 1
a     = 10 / √(25+10√5)
r(S)  = √(50+10√5) / √(25+10√5)
      = -1 + √5
r(A)) = (Φ+1) * √(50+10√5) / √(25+10√5)
      =  1 + √5
      =  3.2360679774997896964091736687312762354406183596115257...

Hier ergeben sich überraschend sehr einfache Zahlenverhältnisse. Zumal da ich nicht wirklich sehe, wie man die Wurzeln so fein auflösen kann, aber der Computer schafft es irgendwie.

Dodekaeder und Ikosaeder

Offensichtlich kann man ein Dodekaeder aus 12 regulären Fünfecken bauen. Doch auch die Kanten des Ikosaeders bestehen aus den selben (also gleich ausgerichteten) 12 Fünfecken. Dies wird in der Videoanimation klar:


Dodecaicosahedron (seq3)

Übrigens sieht man in der Animation für 1 Frame einen Ikosidodekaeder, der ebenfalls gebaut werden könnte.

Einige der Diagonalen und Kanten der Fünfecke kann man zu 3 („goldenen“) Rechtecken zusammenfügen, an deren Ecken alle Kanten zusammenlaufen. Diesen Sachverhalt kann man nutzen, um das Ikosaeder zu zeichnen, wie hier im Video beschrieben:


Ikosaeder zeichnen in 3 Schritten

Oder man scheidet die 3 Rechtecke aus Papier oder Pappe und „vernäht“ sie dann mit den übrigen Kanten. Dann entsteht eine Figur, wie oben im Foto. Dabei bin ich mir noch nicht sicher, ob es eigentlich trivial ist, die Kanten so mit einem durchgehenden Faden zu nähen, ohne dass man keine Kante doppelt, eine Ecke dreimal beschickt und dann wieder dort heraus kommt, wo man angefangen hat. Eine Art dreidimensionales Nikolaushaus. Ich habe es auf Anhieb geschafft, aber instinktiv ein bisschen Taktik verwendet und stets etwas voraugedacht... (Das ist sicher interessant zu modellieren, wenn man mal Zeit hat)

Update 2016-04-10

Inzwischen habe ich einen Brute-Force-Algorithmus entwickelt, der das „Vernähen“ lösen kann, jedoch ist dies natürlich wenig zufriedenstellend. Zusätzlich habe ich eine Processing-Sketch gebastelt, die solche Nähwege darsetellen kann. Aber ich sehe es noch immer als offenes Problem, das ordentlich modelliert zu bekommen.

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